Voici la réponse :
Il est extrêmement important de comprendre tout de suite que le nombre de prisonniers n’a pas d’importance ici. Simplifions les choses et imaginons qu’il n’y ait que deux personnes sur l’île – appelons-les Adria et Bill. Chacun d’eux voit l’autre prisonnier aux yeux verts, et sait que cette personne pourrait être la seule.
Pendant la première nuit qui suit la déclaration, ils attendent tous les deux. Au matin, ils voient que l’autre est toujours là, ce qui leur donne un indice. Adria se rend compte que si elle n’avait pas les yeux verts, Bill aurait été libéré la nuit précédente, sachant qu’il était le seul prisonnier aux yeux verts. Et Bill réalise la même chose à propos d’Adria. Ils comprennent alors tous deux le fait suivant : « Si l’autre attend toujours, c’est que je dois être le seul à avoir les yeux verts ».
Les deux prisonniers obtiennent donc leur liberté le lendemain matin. Maintenant, imaginons qu’il y ait trois prisonniers : Adria, Bill et Carl. Chacun d’eux voit deux prisonniers aux yeux verts, mais ne sait pas combien de personnes aux yeux verts ces deux-là voient autour d’eux. Ils attendent pendant la première nuit suivant la déclaration, et ils ne peuvent toujours pas en être sûrs le lendemain matin.
Carl se dit : « Si mes yeux ne sont pas verts, alors Adria et Bill ne font que s’observer mutuellement. Cela signifie qu’ils partiront tous les deux la nuit suivante. Cependant, lorsque Carl les revoit le 3e matin, il se rend compte qu’ils ont également remarqué qu’il a les yeux verts. Adria et Bill utilisent le même raisonnement, et les trois prisonniers finissent par quitter l’île à la troisième nuit.
C’est ce qu’on appelle la logique inductive. Nous pouvons augmenter le nombre de prisonniers considérés, mais notre raisonnement reste correct quel que soit le nombre de personnes impliquées. Les prisonniers n’ont pas reçu de nouvelles informations dans le texte de l’énoncé lui-même, mais de toute manière, ils ont appris quelque chose de nouveau. Grâce à cela, ils savent maintenant que non seulement au moins l’un d’entre eux a les yeux verts, mais aussi que tous les autres observent toutes les personnes aux yeux verts, et que tout le monde sait ce qui se passe, et ainsi de suite.
Ce qu’un prisonnier ignore, c’est s’il est la personne aux yeux verts que les autres surveillent. Il ne l’apprendra que lorsque le nombre de nuits passées sera égal au nombre de prisonniers sur l’île. Bien sûr, vous auriez pu épargner aux prisonniers 98 jours supplémentaires sur l’île en disant qu’au moins 99 d’entre eux ont les yeux verts. Mais quand il s’agit d’un dictateur fou, mieux vaut ne pas prendre de risque !
